2023年专升本数学考试真题

以下是2023年专升本数学考试的真题及答案解析。

第一部分：选择题

1. 下列不是函数的是：

A. $y=\sqrt{x}$

B. $y=\sin{x}$

C. $y=x^2+1$

D. $x^2+y^2=1$

答案和解析：D。选项D表示的是一个圆的方程，它并不满足一元函数的定义，因此不是函数。

2. 设$f(x)=\sqrt{x+2},g(x)=\sqrt{x-2}$，则$f(g(6))$的值为：

A. $2$

B. $3$

C. $4$

D. $5$

答案和解析：B。$g(6)=\sqrt{6-2}=2\sqrt{2}$，$f(g(6))=\sqrt{2\sqrt{2}+2}=3$。

第二部分：计算题

1. 解方程$\log_2(x-1)-\log_4(x^2-5x+6)=2$。

解析：将式子中的第一个对数用换底公式化为以$4$为底的对数：

$\log_4(x-1)^2-\log_4(x^2-5x+6)=2$。

将减号转化为除号，得：

$\log_4\frac{(x-1)^2}{x^2-5x+6}=2$。

两边用指数函数表示，得：

$\frac{(x-1)^2}{x^2-5x+6}=4^2=16$。

化简得二次方程：

$x^2-21x+85=0$。

解得$x=5$或$x=16$。但$x=5$不满足方程中$log$函数的定义，因此$x=16$是方程的实数解。

2. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的最小值。

解析：先求$f(x)$的一阶导数和二阶导数：

$f'(x)=3x^2-12x+11$

$f''(x)=6x-12$

令$f'(x)=0$，得：

$x_1=\frac{2+\sqrt{2}}{3},x_2=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$

由于$f''(x_1)>0,f''(x_2)<0$，因此$x_1$为$f(x)$的极小值点。计算得：

$f(x_1)=-\frac{1}{27}+\frac{2\sqrt{2}}{3}$

因此$f(x)$的最小值为$-\frac{1}{27}+\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

第三部分：应用题

1. 某厂生产的电视机价格为每台3000元，该厂每生产100台电视机，就可以获得15万元的定额补贴，该厂生产x台电视机，每增加1台，其生产成本将增加50元，销售价格不变，问该厂要生产多少台电视机才能获得最大利润？最大利润是多少？

解析：假设该厂生产$x$台电视机，则生产成本为$3000x+50\cdot \frac{x(x-1)}{2}$，收入为$3000x$，利润为：

$f(x)=3000x-\left(3000x+50\cdot \frac{x(x-1)}{2}\right)-150000$

$=25x^2-125x-150000$

求$f(x)$的一阶导数和二阶导数：

$f'(x)=50x-125$

$f''(x)=50$

令$f'(x)=0$，得$x=2.5$，即当生产2.5台电视机时，利润最大。

此时利润为$f(2.5)=-93750$元。

2. 计算下列极限：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^x}{\sin{x}\sin^2{2x}}$

解析：化简得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{\sin{x}\sin^2{2x}}$

将$\sin^2{2x}$分解为$4\sin{x}\sin{2x}$和$2+\cos{4x}$的乘积，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{4\sin^3{x}\sin{2x}(2+\cos{4x})}$

将$\sin{2x}$展开为$2\sin{x}\cos{x}$，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{4\sin^4{x}\cos{x}(2+\cos{4x})}$

将$\cos{4x}$展开为$8\cos^4{x}-8\cos^2{x}+1$，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x(e^x-1)}{32\sin^4{x}\cos{x}\cos^4{x}}$

令$t=\cos{x}$，则原式变为：

$\lim_{t\to 1}\frac{(e^{\arccos{t}}-1)t}{8t^4(1-t)^4}$

将$e^{\arccos{t}}$用泰勒公式展开为$1+\arccos{t}+\frac{(\arccos{t})^2}{2}+o((\arccos{t})^2)$，得：

$\lim_{t\to 1}\frac{\arccos{t}+o((\arccos{t})^2)}{8t^4(1-t)^4}$

由于$\lim_{t\to 1}\frac{o((\arccos{t})^2)}{(1-t)^4}=0$，因此原式等于：

$\lim_{t\to 1}\frac{\arccos{t}}{8t^4(1-t)^4}$

令$x=\arccos{t}$，则原式变为：

$\lim_{x\to 0}\frac{x}{8\cos^4{x}\sin^4{x}}$

将$x$展开为$tan{\frac{x}{2}}$，得：

$\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{2}}{8\left(\frac{1-\cos{x}}{2}\right)^4\left(\frac{\sin{x}}{2}\right)^4}$

令$y=\frac{x}{2}$，则原式变为：

$\lim_{y\to 0}\frac{2y}{\sin^4{y}\cos^4{y}(1-\cos{y})^4}$

将$\sin{y}$和$1-\cos{y}$分解为$y$和$\frac{y^2}{2}$的乘积，得：

$\lim_{y\to 0}\frac{2y}{y^4\left(\frac{y^2}{4}\right)^4\left(\frac{y^2}{2}\right)^4}$

化简得：

$\lim_{y\to 0}\frac{32}{y^3}=+\infty$

因此原式不存在有限极限。

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